dirty は「汚い、汚れた」、cleanは「きれいな、清潔な」という意味の形容詞です。

このように対になる言葉がなぞなぞにはよく利用されます。

両方とも動詞の用法もあり、dirty は 「汚す/汚れる」、clean は特に「掃除する」という意味で使えます。

get と become は共に形容詞を伴い「(～の状態に)なる」という意味です。これに対しbe動詞だと「(～の状態)である」ということを表すだけです。

Their hands are dirty. (彼らの両手は汚れている)

Their hands gets dirty. (彼らの両手は汚れる)